¿Puedo recuperar puntos si se ha gestionado mal la perdida de puntos?

Resulta que en enero, me pararon por conducir ebrio. Pagué la multa y esperé a que me sacaran los puntos, pero hace mes y medio me enviaron una carta diciendo que aún quedaba pendiente el pago de la mitad de la multa. Me quedé sorprendido porque el agente que me detuvo en enero me dijo que la sanción era el importe que yo pagué. Por este motivo, pensé que recurriría esta multa, pero antes tenía que terminar de pagar lo restante. Así que fui y pagué toda la multa entera a la espera de hacer la alegación. Pero pocos días después cometí otra infracción, con lo que tenía que pagar otro importe y 6 puntos más.
Mi idea era que entre la retirada de los 6 puntos de enero (que ya había pagado la multa entera pocos días antes) y la retirada de los 6 puntos de septiembre, podría ir a recuperar un par de puntos y no quedarme sin. Pero finalmente me ha llegado una carta dónde me dicen que me retiran los 12 puntos y me quedo sin carne.
Mi pregunta es: si recurro la primera multa, alegando que ha habido un problema burocrático (en el cual yo pensaba que ya estaba abonada correctamente pero hubo un error con el agente que me sancionó) ¿puedo recuperar los puntos, o aunque sea reclamar un período de tiempo entre una y otra para poder recuperar los puntos?