Disfrutar permiso de bebé lactante por ambos progenitores al mismo tiempo

Buenos días,
Querría consultar el tema de la lactancia. Ambos progenitores queremos disfrutar del permiso retribuido al mismo tiempo. Trabajamos en distintos sectores y empresas.
Hice una pregunta al sindicato de mi trabajo y me dijo que solamente podría disfrutarla uno pero leyendo el convenio y el estatuto de trabajadores indica que el permiso es intransferible, por lo que entiendo que es exclusivo de cada uno de nosotros y no depende del otro para disfrutarlo.
Me gustaría aclararlo y justificarlo al sindicato.
Gracias