¿Merece la pena demandar por daños y perjuicios?

Me gustaría demandar a una empresa proveedora de gas por daño y perjuicios, pero no sé si merece la pena, ni conozco el procedimiento. Os agradecería cualquier orientación al respecto.
En resumen: Por un error suyo, la empresa proveedora de gas cortó el suministro de mi casa sin previo aviso, en pleno invierno, y sin notificación posterior. Al darnos cuenta, llamamos para reclamar y reconocieron que era un error, diciendo que restablecerían el suministro lo antes posible. Finalmente, después de un montón de llamadas, hemos estado 4 días sin gas. Sin ninguna explicación ni disculpa por parte de la empresa.
Por otro lado, además de esto y durante varios meses ha estado enviándome cartas certificadas, notificaciones de impago, requerimientos de pago, etc., que no me correspondían. Incluso en varias ocasiones me han pasado por la cuenta facturas que no eran mías, y que he tenido que rechazar. Todo esto está reclamado varias veces, pero no han solucionado el problema.
¿Puedo demandarles por daños y perjuicios? ¿Merece la pena embarcarme en ese proceso? ¿Qué les puedo reclamar?

Muchísimas gracias por vuestro tiempo y consejo.