¿Puedo dar los 15 días de aviso de cese de contrato estando de vacaciones?

Estoy de baja por gripe y en mi empresa me han ofrecido que me de el alta médica voluntaria y darme 17 días de vacaciones que tengo y ahí no lo notaría tanto en la nómina, pues bien he pasado un proceso de selección en otra empresa que podría hacer darme el alta voluntaria y pedir al día siguiente mis vacaciones y de seguido comunicar que quiero la baja voluntaria en la empresa y que aviso con 15 días antes (todo esto entre viernes o lunes)de los que estaría de vacaciones, por otro lado pasaría algo por que estuviese dada de alta en los 2 sitios durante 13 días en uno estaría de vacaciones y en el otro recién incorporada en la platilla, no se muy bien qué hacer si me pudiesen aconsejar lo agradecería muchísimo.