¿Se puede solicitar el impago de la pensión alimenticia?

En 2012 firmamos convenio regulador, donde se estipulaba el pago de manutención, que el padre de mis hijos (2) no hizo efectivo en ningún momento (alega que no trabaja pero lleva así desde 2007). El año pasado estuvo trabajando para el ayuntamiento y aún así tampoco hizo efectivo ningún pago, con lo que mi abogado pidió una ejecución de sentencia, donde le han embargado el paro y le retienen 120 euros al mes por mis dos hijos.
Hace tres meses hizo un recurso a la sentencia donde solicitaba no pasar la manutención, solo hacerse cargo de ellos cuando estén con él (40 días de verano acordados en convenio), porque según él no le llega el dinero para sobrevivir, he de decir que mi nómina es de 1.153 Euros y con eso tengo que pagar el alquiler y mantenernos los tres, a parte de otros muchos gastos. También añadir que en la ejecución de sentencia le han exigido los atrasos desde la firma de dicho convenio (100 Euros al mes que están depositados en el juzgado y que a partir de su recurso están en dicho juzgado sin que pueda acceder al ese dinero). El día 11 de Mayo tenemos el juicio... ¿podré disponer de ese dinero después del juicio? ¿Quién tendrá que pagar las costas del mismo?
Muchas gracias