Pasos tras firmar compra-venta para la venta de coche

Hola, estoy vendiendo mi coche y ya firmé el contrato de compra y venta, quedé con el comprador para que me haga la transferencia en mi cuenta y acto seguido yo le dejo el coche y el se lo llevará. Cuando la casa tenga la carta de levantamiento se la mandará a su dirección, y el se encargará del traspaso y del resto. Mi duda es, si debiera pedirle algún papel más, o si le puedo entregar el coche así y no habrá ningún problema puesto que está aun a mi nombre.